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By Pascal Boyer

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Landfill Closures. Geosynthetics, Interface Friction and New Developments

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Practical Beekeeping

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PROBLEMES D’ANGLES ET DE DISTANCES EN DIMENSION 2 ET 3 (ii) On applique (i) aux triangles M Ci Bσ(i) : sin(β+γ) M Yi = sin γ M Bσ(i) + sin β M Ci 43 o` u γ = CM Y et β = Y M B. En additionnant ces ´egalit´es, on obtient 1 1 1 1 1 1 sin(β + γ) = sin γ + sin β + ··· + + ··· + + ··· + M Y1 M Yn M B1 M Bn M C1 M Cn o` u le membre de droite de d´epend visiblement pas de σ. (iii) Consid´erons σ = Id ; d’apr`es le th´eor`eme du papillon « simple », on a M Xi = M Yi ce qui donne le r´esultat. Par ailleurs d’apr`es (ii) les sommes de l’´enonc´e sont ind´ependantes de la permutation d’o` u le r´esultat.

L’id´ee est de pr´esenter axiomatiquement la g´eom´etrique inversive sans faire r´ef´erence ` a la g´eom´etrie euclidienne. L’espace est un ensemble de points muni d’une famille de sous-ensembles que l’on appelle cercles, avec les relations d’incidence suivantes : (I1) par trois points passe exactement un cercle ; (I2) il existe 4 points non cocycliques ; (I3) soit P un point appartenant a` un cercle C ; pour tout point Q ∈ C il existe exactement un cercle passant par Q et ayant P comme unique point commun avec C (en g´eom´etrie euclidienne cela correspond ` a demander que le cercle en question soit tangent `a C en P ) ; (I4) (Th´eor`eme de Miquel cf.

8) soient S1 , S2 , S3 et S4 quatre cercles du plan, tels que S1 coupe S2 en deux points z1 , w1 , qui lui-mˆeme coupe S3 en z2 , w2 , qui coupe S4 en z3 , w3 qui coupe S1 en z4 , w4 . Si les points z1 , z2 , z3 , z4 sont cocycliques, alors qu’il en est de mˆeme des points w1 , w2 , w3 , w4 . Remarque : d’apr`es (I1) l’intersection de deux cercles distincts a deux, un ou z´ero points communs ; on dira respectivement qu’ils s’intersectent, qu’ils sont tangents ou qu’ils ne s’intersectent pas. D´efinition inversive de l’orthogonalit´e : deux cercles C et C1 qui s’intersectent sont dits orthogonaux, s’il existe des cercles C2 et C3 tels que C1 , C2 , C3 soient tangents deux `a deux en des points A, B, C et que C est l’unique cercle contenant A, B, C.

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