Download Angeordnete Strukturen: Gruppen, Körper, projektive Ebenen by S. Priess-Crampe PDF

By S. Priess-Crampe

Die Theorie angeordneter Strukturen hat sich in diesem Jahrhundert entwickelt. Sie beginnt mit den wichtigen Arbeiten von Holder, Hahn und Hausdorff: In seiner Arbeit iiber "Die Axiome der QuantiHit und die Lehre vom MaB" hat Holder 1901 bewiesen, daB sich jede archimedisch angeordnete Gruppe ordnungstreu in die addi tive Gruppe von R. einbetten HiBt. HOlder gewinnt eine solche Abbildung mittels der von Dedekind eingefUhrten Schnitte in

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Wir werden das (in Satz 9) zeigen, nachdem wir zunachst nachgewiesen haben, daB ein reell abgeschlossener Korper sich auf nur eine Weise anordnen laBt. Wichtigster Hilfssatz hierfiir ist das folgende Lemma: Lemma 4. f sei ein irreduzibles Polynom aus K[x], zu dem es Elemente a,bEK mitf(a)f(b) < 0 gibt. Dann liifJt sich die Anordnung von K auf K[x]/(f) fortsetzen (wobei K mit seinem monomorphen Bild in K[x]/(f) identiJiziert wurde). Beweis. Man beweist dieses Lemma mit vollstandiger Induktion nach n = gradf Fiir n = 1 ist K[x]/(f) = K, und damit gilt die Aussage trivialerweise.

Also liegt IXj zwischen a und b. 0 Als direkte Folgerung aus diesem Satz erhalt man: Satz 15 (Zwischenwertsatz). Es sei K ein reell abgeschlossener Korper, feK[x], und a, b, t seien Elemente aus K mit f(a) < t o. Damit existiert nach dem vorhergehenden Satz zwischen a und b ein ceKmit g(c) = 0, alsof(c) = t. , = n n L: ajxi iiber einem Korper K seif' die formale Ableitung j=O L: jajxj - 1 • j=l Auch der nachste Satz ist eine Folgerung aus dem WeierstraBschen Nullstellensatz.

M} mit (a - IX) (b - IXj ) < o. Also liegt IXj zwischen a und b. 0 Als direkte Folgerung aus diesem Satz erhalt man: Satz 15 (Zwischenwertsatz). Es sei K ein reell abgeschlossener Korper, feK[x], und a, b, t seien Elemente aus K mit f(a) < t o. Damit existiert nach dem vorhergehenden Satz zwischen a und b ein ceKmit g(c) = 0, alsof(c) = t. , = n n L: ajxi iiber einem Korper K seif' die formale Ableitung j=O L: jajxj - 1 • j=l Auch der nachste Satz ist eine Folgerung aus dem WeierstraBschen Nullstellensatz.

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